Bosh sahifa / Mavzular yoritilishi / To’plamlar ustida amallar

To’plamlar ustida amallar

To’plam tushunchasi

To‘plam matematikaning boshlang‘ich tushunchalaridan bo‘lib, uni o‘zidan soddaroq tushunchalar orqali ta’riflab bo‘lmaydi. Turmushda ma’lum ob’ektlar majmuasini bir butun narsa deb qarashga to‘g‘ri keladi. Aytaylik, biolog biror o‘lkadagi o‘simliklar va hayvonot dunyosini o‘rganar ekan, u jonzotlarni turlar bo‘yicha, turlarni esa urug‘lar bo‘yi cha sinflarga ajratib chiqadi. Har bir tur yaxlit bir butun deb qaraladigan jonzotlar majmuasidir.

To‘plam ixtiyoriy tabiatli ob’ektlardan tashkil topgan bo‘lishi mumkin. Masalan, Osiyo qit’asidagi barcha daryolar yoki lug‘atdagi barcha so‘zlar to‘plam bo‘la oladi.

Majmualarning matematik tavsifini berish uchun to‘plam tushunchasini taniqli nemis matematigi Georg Kantor(1845 -1918) quyidagicha kiritgan:

«To‘plam fikrda bir butun deb qaraluvchi ko‘plikdir».

To‘plamni tashkil etgan ob’ektlar uning elementlari deyiladi. To‘plam, odatda, qulaylik uchun, lotin alifbosining bosh harflari, masalan, A,B,C, …, uning elementlari esa kichik harflari, masalan, a,b,c,…bilan belgilanadi.  Elementlari a,b,c,…bo‘lgan A to‘plam qavslar yordamida A = {a,b,c,…} kabi yoziladi. {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} yozuvlar bitta to‘plamni anglatadi.

Masalan, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – o‘nlik sanoq sistemasidagi raqamlar

to‘plami, V= {a, e, i, o, u} – ingliz tilidagi unli harflar to‘plami (ing. vowel−unli).

x A to‘plamning elementi ekani x ∈ A kabi, elementi emasligi esa x ∉ A kabi

yoziladi va birinchi holda «x elementA ga tegishli», ikkinchi holda «x element

A ga tegishli emas» deb o‘qiladi.

Masalan, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} uchun 4 ∈ A, ammo 9 ∉ A.

Agar to‘plamni tashkil qilgan elementlar chekli sonda bo‘lsa, bunday to‘plam

chekli to‘plam, aks holda cheksiz to‘plam deyiladi.

Masalan, A = {2, 3, 5, 8, 13, 21} to‘plam chekli, ℕ={1, 2, …, n, …} − barcha

natural sonlar to‘plami esa cheksiz to‘plamdir.

n(A) deb chekli A to‘plamning barcha elementlari sonini belgilasak,

A={2, 3, 5, 8, 13, 21} to‘plamning barcha elementlari soni 6 ga teng bo‘lgani

uchun, n(A)=6 bo‘ladi.

Cheksiz to‘plamga yana bir misol sifatida 13 dan kichik bo‘lmagan barcha

natural sonlar to‘plamini keltirsa bo‘ladi.

Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va

∅  kabi belgilanadi. ∅to‘plam ham chekli hisoblanadi va uning uchun n(∅)= 0.

Cheksiz A to‘plam uchun n(A)= ∞ belgilash qabul qilingan.

Agar A to‘plamning hamma elementlari B to‘plamga tegishli bo‘lsa, A

to‘plam B to‘plamning qism to‘plami deyiladi va A ⊆B kabi yoziladi.

Bunday holatda «A to‘plam B da yotadi» yoki «A to‘plam B ning qismi»

ham deb yuritiladi.

{a} to‘plam ∅ va {a}, ya’ni ikkita qism to‘plamlarga ega.

{a, b} to‘plam esa to‘rtta: ∅, {a}, {b} va {a, b} qism to‘plamlarga ega.

Masalan, {2, 3, 5} ⊆{1, 2, 3, 4, 5, 6}, chunki, birinchi to‘plamning hamma

elementlari ikkinchi to‘plamning ham elementlari bo‘ladi.

A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan elementlari mavjud bo‘lsa, A

to‘plam B ning qism to‘plami bo‘la olmaydi va bu holat A⊄B kabi yoziladi.

Masalan, A={1,2 ,3,4}, B={2,3,4,5} bo‘lsin.1∉Bbo‘lgani uchun A⊄B .

Ravshanki, ∅ ⊆ A, A ⊆ A munosabatlar o‘rinli.

A ⊆B va B ⊆A bo‘lsa, bu to‘plamlar aynan bir hil elementlardan iborat

bo‘lib, ular teng (ustma−ust tushuvchi) to‘plamlar deyiladi hamda bu A= B

kabi yoziladi.

Masalan, muntazam uchburchaklar to‘plami barcha burchaklari o‘zaro teng bo‘lgan uchburchaklar to‘plami bilan ustma−ust tushadi. Buning sababi ixtiyoriy muntazam uchburchakning barcha burchaklari teng va aksincha, agar uchburchakda barcha burchaklar teng bo‘lsa, u muntazam bo‘ladi.

Ayrim hollarda to‘plamni berish uchun uning elementlari uchun o‘rinli,

boshqa elementlar uchun o‘rinli bo‘lmagan xarakteristik  xossa ko‘rsatiladi.

Agar x element P xossaga ega degan fikr qisqacha P(x) deb yozilgan bo‘lsa, P

xossaga ega bo‘lgan barcha elementlar to‘plami {x|P(x)} ko‘rinishda belgilanadi.

Masalan, A= {x | − 2 x 4, x ∈ Z} yozuv quyidagicha o‘qiladi: “−2 dan katta

yoki teng hamda 4 dan kichik yoki teng bo‘lgan barcha butun sonlar to‘plami”,

Bu to‘plam sonlar o‘qida quyidagicha tasvirlanadi:

 

 

 

 

Ko‘rinib turibdiki, A= {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} vau chekli, bunda n(A) = 7.

Xuddi shunday B= {x | − 2x<4, x ∈ Z} yozuv quyidagicha o‘qiladi: “−2

dan katta yoki teng hamda 4 dan kichik bo‘lgan barcha haqiqiy sonlar to‘plami”

Bu to‘plam sonlar o‘qida quyidagicha tasvirlanadi:

 

 

 

Ko‘rinib turibdiki, B = [−2, 4) va u cheksiz, bundan(B)= ∞.

 


Asosiy sonli to‘plamlarni eslatib o‘tamiz:

  1. N – natural sonlar to`plami. Natural son deb sanoq uchun ishlatiladigan sonlarga aytiladi va u quyidagicha belgilanadi: N={1, 2, 3, …n…}.
  2. Z – Butun sonlar to`plami. Natural sonlar to`plamiga nol deb ataladigan 0 sonini va manfiy ishora bilan olinadigan natural sonlarni birlashtirishdan hosil bo`lgan to`plam butun sonlar to`plami deb ataladi va u quyidagicha belgilanadi:                    Z={…-n…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …n, …}
  3. Q – Ratsional sonlar to`plami. Ratsional sonlar to`plami deb (mÎZ, nÎN) ko`rinishdagi sonlar to`plamiga aytiladi. Qq{; mÎZ, nÎN}; NÎQ, ZÎQ.
  4. I – Irratsional sonlar to`plami. ko`rinishda yozib bo`lmaydigan sonlarga aytiladi. Masalan,
  5. R – Haqiqiy sonlar to`plami. Ratsional va irratsional sonlar to`plamining birlashmasi haqiqiy sonlar to`plami deyiladi. R=QÈI.
  6. Æ – Bo`sh to`plam. Birorta ham elementga ega bo`lmagan to`plam bo`sh to`plam deyil

To‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi, ayirmasi

1) A,B to‘plamlarning kesishmasi(ko’paytmasi) deb bu to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plamga aytiladi. A,B to‘plamlarning kesishmasi

A ⋂B kabi belgilanadi.

Masalan, P={1, 3, 4} va Q={2, 3, 5} uchun

P ⋂Q={3}.

2) A,B to‘plamlarning birlashmasi (yig’indisi) deb bu to‘plamlardan kamida bittasining

elementi bo‘lgan elementlardan tashkil topgan to‘plamga aytiladi.

A,B to‘plamlarning birlashmasi A∪B kabi belgilanadi.

 

Masalan, P ={1, 3, 4} va Q ={2, 3, 5} uchun P∪Q ={1, 2, 3, 4, 5}.

Umumiy elementlarga ega bo‘lmagan ikkita to‘plam o‘zaro kesishmaydigan

to‘plamlar deyiladi.

3) A,B to‘plamlarning ayirmasi deb,  A ning B da mavjud bo’lmagan barcha elementlaridan tuzilgan to’plamga aytiladi. A va B to’plamlarning ayirmasi A\B ko’rinishda belgilanadi:

Masalan, P ={1, 3, 4} va Q ={2, 3, 5} uchun P\Q={1, 4}.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

To’ldiruvchi to’plam. Venn diagrammasi.

Faraz qilaylik, bizni 1dan katta yoki teng hamda 8dan kichik yoki teng

bo‘lgan barcha natural sonlar to‘plami qiziqtirsin va biz uning qism to‘plamlarini qaramoqchimiz.

Odatta bu holda U= {x | 1x 8,x ∈ ℕ} to‘plam kiritiladi va U universal to‘plam deb yuritiladi. A to‘plamning A’ to‘ldiruvchisi deb U universal to‘plamning Aga tegishli bo‘lmagan barcha elementlari to‘plamiga aytiladi.

Masalan, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} universal to‘plam bo‘lsa,

A = {1, 3, 5, 7, 8} to‘plamning to‘ldiruvchisi A’ = {2, 4, 6} to‘plam bo‘ladi.

Ravshanki,   •A ⋂A’ =∅

  • A ∪A’ = U
  • n(A)+ n(A’)= n(U)

ya’ni A vaA’ to‘plamlar umumiy elementlarga ega emas hamda ularni tashkil

qilgan barcha elementlar U ni hosil qiladi.

Venn diagrammalari

To‘plamlarni Venn diagrammalari yordamida tasvirlash maqsadga muvofiq.Venn diagrammasida Uuniversal to‘plam −to‘g‘ri to‘rtburchak, to‘plam esa shu to‘rtburchak ichida yotgan doira kabi tasvirlanadi.

Masalan, rasmda U universal to‘plam ichida A to‘plam tasvirlangan. Aylana

tashqarisidagi bo‘yalgan soha A

to‘plamning A’ to‘ldiruvchisini bildiradi:

U = {2,3,5,7,8}, A = {2,7,8} va A’ = {3,5} bo‘lsa, shu to‘plamlar Venn diagrammasida quyidagicha tasvirlanadi:

Agar B  ⊆Abo‘lsa, u holda B to‘plamning ixtiyoriy elementi A to‘plamga tegishli. Demak, bunga mos Venn diagrammasida B to‘plamni ifodalovchi doira  A to‘plamni ifodalovchi doira ichida yotadi.

A⋂Bkesishma elementlari ham A ga, ham B ga tegishli bo‘ladi. Demak, bunga mos Venn diagrammasida A⋂B to‘plamni ifodalovchi bo‘yalgan soha shunday tasvirlanadi:

A∪Bbirlashma elementlari yoki A ga, yoki B ga, yoki ikkalasiga tegishli bo‘ladi. Demak, bunga mos Venn diagrammasida A∪B to‘plamni ifodalovchi soha quyidagicha tasvirlanadi:

 

Bul algebrasi

Agar birlashma va kesishma amallari biror to’plamning qismlariga qo’llansa, natijada yana shu to’plamning qism to’plamlari chiqadi. Bu holda qaralayotgan ikki amalning xossalari sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallarining xossalariga yaqin bo’ladi.  Masalan, to’plamlarning kesishmasi va birlashmasi uchun kommutatiblik va assosiativlik xossalari o’rinli. Kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasi ham kuchga ega, ya’ni  ixtiyoriy A,B, va C to’plamlar uchun  A(BC)=( AB)(AB) tenglik to’gri. Shu bilan bir paytda to’plamlar  ustidagi amallarning sonlarnikiga  o’xshamaydigan xossalari ham mavjud.  Masalan, ixtiyoriy A to’plam uchun AA=A va AA=A tengliklar o’rinli, yana bir distributivlik  qonuni ham to’g’ri:

A(BC)=( AB) (AC)  va h.k. To’plamlar ustidagi amallarning xossalari yordamida to’plamlardan tuzilgan ifodalarni o’zgartirish mumkin; bu-arifmetik amallarning xossalari yordamida to’plamlardan tuzilgan ifodalarni aynan almashtirishga o’xshaydi. Natijada o’ziga xos yangi algebra vujudga keladi. U ingliz matematigi va mantiqchi J.Bul (1815-1864) nomi bilan Bul algebrasi deyiladi.  J.Bul bunday algebra bilan matematik mantiq muammolari tufayli shug’ullangan. Bul algebralari ko’plab sohalarda, xususan, elektr zanjirlari nazariyasida tatbiq qilinadi.

To‘plamlar ustida bajariladigan amallarning xossalari sonlar ustida  bajariladigan  amallarning  xossalariga  o‘xshash.  Har  qanday X,  Y  va Z  to‘plamlar  uchun:

tengliklar  bajariladi.

 

 

Mavzu:      To’plamlarga oid mashq bajarish.

 

O’tkazish sanasi: ___________________

 

 

Darsning maqsadi:
Ta’limiy:    O’quvchilarga to’plam  haqidagi bilimlarini  mustahkamlash.

Rivojlantiruvchi:    O’quvchilarni mustaqil fikrlarini oshirish va rivojlantirish.

Tarbiyaviy:          Vatanini sevish, milliy va  umuminsoniy qadriyatlarga hurmatda bo‘lish, odob-axloq qoidalariga rioya  qilishni singdirish, “Ayrilganni ayiq yer, bo’linganni bo’ri” maqolini mohiyati dars ichida singdirish.

Kompetensiya TK: Axborotlar bilan ishlash kompetensiyasi:

tavsiya etilgan mediamanbaalardan axborotni izlab topa oladi, zarur bo‘lsa uni boshqa ko‘rinishlarga (matn, jadval, sxema va h.k.) o‘tkaza oladi;

ustunli, chiziqli va doiraviy diagrammalar, jadvallar, chizmalar ko‘rinishida berilgan statistik ma’lumotlarga asoslanib turli ob’ekt va hodisalarni taqqoslay oladi;

axborotlarni statistik ma’lumotlarning ko‘rinishlarning bir turidan (ustunli, chiziqli va doiraviy diagrammalar, jadvallar, chizmalar) boshqa ko‘rinishga o‘tkaza oladi;

FOK: to’plamlar ustida qo‘shish amalining xossalarini tushunganligini namoyon qila oladi va ularni hisoblashlarga oid amaliy va o‘quv masalalarga tadbiq qila oladi;

To’plamlar ustida ayirish, ko’paytirish amalining xossalarini  tushunganligini namoyon qila oladi va ularni hisoblashlarga oid amaliy va o‘quv masalalarga tadbiq qila oladi;

 

Dars usuli suhbat, tushuntirish, “Savol-javob” metodi, “Rasmli boshqotirma” , “To‘g‘risini top”, o‘yinlari.
Dars turi Bilim va ko’nikmalarni nazorat qiluvchi va mustahkamlovchi.

 

 

Ishlash bosqichlari vaqti Faoliyat mazmuni
O’qituvchi O’quvchilar
1-bosqich. Mavzuga kirish. (8-daqiqa) 1.1           Darsni tashkillashtish.

1.2           Uy vazifalarini tekshirish, savol-javob o’tkazish, natijalarni tahlil etish (5 daqiqa)

1.3           O’quv mashg’ulotining mavzusi maqsadi, rejalashtirilgan natijasi va uni o’tkazish rejasini e’lon qiladi:

1.     Darsga tayyorlanadi.

2.     Vazifalarni bajaradi, savollarga javob beradi.

3.     Maqsad va rejani diqqat bilan tinglaydi yoki yozi oladi.

2-bosqich. Asosiy. (33 daqiqa) To’plamlar bilan  ishlashni o’rgatish, mavzuni mustahkamlash. (33 daqiqa) Vazifalarni bajaradi, tushunmagan joylarida savol beradi.
3-bosqich. Yakuniy. (4 daqiqa) O’quvchilar olgan bilimlari baholanadi.

Uyga topshiriq va savollar beriladi.

 

1.     Qo’shimcha savollarga javob beradi, topshiriqlarni bajaradi.

2.     Vazifalarni yozib oladi.

O’qituvchi  doskada birin-ketin to’plamga oid misollardan ishlab,tushuntiradi.

1−misol. M={2,  3,  5,  7,  8,  9} va N= {3,  4,  6,  9,  10} to‘plamlar uchun

quyidagilarni aniqlang:

  1. a) rost yoki yolg‘on ekanini: 4∈M;   II.  6∉ M;
  2. b) to‘plamlarni toping: M⋂N;   II.M∪N;
  3. c) rost yoki yolg‘on ekanini: M⊆N;   II {9, 6, 3}⊆N.

Yechish:

  1. a) 4 soni M to‘plam elementi bo‘lmagani uchun 4∈M munosabat yolg‘on.

6 soni M to‘plam elementi bo‘lmagani uchun 6 ∉ M munosabat rost.

  1. b) M⋂N= {3, 9}, chunki faqat 3 va 9 sonlargina ikkala to‘plamning ham

elementlaridir. M∪N to‘plamni topish uchun yoki M ga yoki Nga tegishli

bo‘lgan elementlarni yozamiz: M∪N= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

  1. c) M ⊆ Nmunosabat yolg‘on, chunki M to‘plamda N ga tegishli bo‘lmagan

elementlari bor. {9, 6, 3} ⊆ N munosabat rost, chunki Nda {9, 6, 3} to‘plam

elementlari bor

2-misol. Quyidagi to‘plamlarni yozing:

a)“−100 dan katta hamda 100 dan kichik bo‘lgan barcha butun sonlar to‘plami”;   A= {x |-100<x <100,x ∈ Z}

b)“1000dan katta bo‘lgan barcha haqiqiy sonlar to‘plami”;

A= {x |x >100,x∈R}

c)“2dan katta yoki teng hamda 3 dan kichik yoki teng bo‘lgan barcha ratsional sonlar to‘plami”.

A= {x | 2x 3,x ∈ Q}

3-misol.

 

 

 

 

Bu misolda har bir to’plam elementlari yozib olinadi:

U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, A={2,3,4,5,6,7}, B={5,6,7,8}

b)A`={0,1,8}   d)  B`={0,1,2,3,4} e) A⋂B={5,6,7}  f) A∪B={2,3,4,5,6,7,8}

  1. g) A⋂B`={2,3,4}

4-misol. n(U)= 15, n(P)= 6, n(Q’) = 4 bo‘lsa, quyidagilarni toping:

  1. a) n(P’) b) n(Q)

Bu misol yechish quyidagicha: n(U)= n(P)+ n(P’)  dan

n(P’)= n(U)-n(P)=15-6=9

n(U)= n(Q)+ n(Q’)  dan n(Q) = n(U)-n(Q`)=15-4=11

 

5-misol. Venn diagrammasidan foydalanib, quyidagi to’plam elementlarini toping:

 

 

 

 

 

 

 

Yechish:

  1. a) n(B)=5+2=7
  2. b) n(A`)=5+9=14
  3. c) n(A∪B)=7+2+5=14
  4. d) n(A, B emas)=7
  5. e) n(B, A emas)=5
  6. f) n(A emas, B emas)=9

6-misol.

 

 

 

 

Yechish:

Jami-56 nafar

Kunduzi-47 nafar

Kechki-29 nafar

Ikkalasidagilar-?

n(A∪B)=56,  n(A)=47, n(B)=29, n(A⋂B)=?

n(A∪B)= n(A)+ n(B)- n(A⋂B) dan

n(A⋂B)= n(A)+ n(B)- n(A∪B)=47+29-56=20

Javob: 20 nafar ishchi ham kunduzi ham kechasi ishlaydi.

Dars jarayonida o’qituvchi ko’rsatgan misollarga o’xshash misollar o’quvchilar tomonidan yechib boriladi.

Uyga vazifa:

Mashqlar

  1. To‘plamlarning elementlari sonini toping:
  2. a) A= {6,7,9,11,12};
  3. b) B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
  4. c) A⋂B;
  5. d) A∪
  6. To‘plamlarning chekli yoki chekli emasligini aniqlang:
  7. a) 10 dan katta ammo 20 dan kichik natural sonlar to‘plami;
  8. b) 5 dan katta bo‘lgan natural sonlar to‘plami.
  9. To‘plamlardan qaysilari o‘zaro kesishmaydi?
  10. a) A= {1, 3, 5, 7}; B= {2, 4, 6, 8};
  11. b) P= {3, 5, 6, 7, 8, 10}; Q= {4, 9, 10}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Haqida nafosat

Yana

Delphi muhitida ishlash

Mavzu: Delphi dasturlash muhitida ishlash Reja: Vizual dasturlash muxiti Delphi dasturlash muxitiga kirish Obe’ktlar inspekt …